Trigonometri

Trigonometri (bahasa Yunani: trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) ialah satu cabang matematik yang berkenaan dengan sudut, segi tiga, dan fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus dan tangen. Cabang ini mempunyai sedikit kaitan dengan geometri, walaupun terdapat percanggahan pendapat tentang apakah sebenarnya hubungan ini. Bagi sesetengah orang, trigonometri hanya merupakan sebuah subtopik geometri.

Jadual Trigonometri, 1728 Cyclopaedia

Trigonometri

Sejarah Kegunaan Fungsi Fungsi songsang Bacaan lanjut

Rujukan

Senarai identiti Pemalar tepat Menghasilkan jadual trigonometri

Teori Euclid

Hukum sinus Hukum kosinus Hukum tangen Teorem Pythagoras

Kalkulus

Penggantian trigonometri Kamiran fungsi Pembezaan fungsi Kamiran songsang

Sejarah awal

Keasalan trigonometri boleh dikesani ke tamadun Mesir kuno, Mesopotamia dan Lembah Indus melebihi 4,000 tahun dahulu. Orang Babylon kelihatan mendasarkan trigonometri mereka pada asas sistem perenampuluhan.

Ahli matematik India merupakan perintis algebra pengiraan pemboleh ubah untuk kegunaan pengiraan astronomi, bersama-sama dengan trigonometri. Lagadha (k.k. 1350-1200 SM) ialah ahli matematik pertama yang diketahui menggunakan geometri dan trigonometri untuk astronomi dalam bidang Jyotisha Vedanga. Kebanyakan karyanya telah dimusnahkan oleh penyerang asing ketika menyerang India. Penggunaan sinus yang terawal muncul dalam Sutra Sulba yang ditulis di India antara 800 SM dan 500 SM, yang dapat mengira dengan tepat sinus untuk π/4 (45°) sebagai 1/√2 dalam prosedur untuk mencipta bulatan yang luasnya sama dengan sesuatu empat segi (lawan untuk mencipta empat segi yang luasnya sama dengan sesuatu bulatan).

Pada kira-kira tahun 150 SM, Hipparchus, seorang ahli matematik Yunani, menyusun sebuah jadual untuk menyelesaikan segi tiga. Ptolemy, ahli matematik Mesir keyunanian memperkembangkan lagi pengiraan trigonometri di Mesir pada lebih kurang tahun 100.

Pada tahun 499, Aryabhata, seorang ahli matematik India mencipta jadual-jadual separuh perentas yang kini dikenali sebagai jadual sinus, bersama-sama dengan jadual kosinus. Beliau menggunakan zya untuk sinus, kotizya untuk kosinus, dan otkram zya untuk sinus songsang, dan juga memperkenalkan versinus. Pada tahun 628, lagi seorang ahli matematik India, Brahmagupta, menggunakan formula interpolasi untuk menghitung nilai sinus sehingga peringkat kedua untuk formula interpolasi Newton-Stirling.

Ahli matematik Parsi, Omar Khayyam (1048-1131), menggabungkan trigonometri dan teori penghampiran untuk memberkan kaedah-kaedah untuk menyelesaikan persamaan algebra melalui min geometri. Khayyam menyelesaikan persamaan kuasa tiga, $x^{3}+200x=20x^{2}+2000$, dan mendapat punca positif untuk kuasa tiga ini melalui persilangan hiperbola segi empat tepat dan bulatan. Penyelesaian angka hampiran kemudian didapat melalui interpolasi dalam jadual-jadual trigonometri.

Kaedah-kaedah perinci untuk membina jadual sinus untuk mana-mana satu sudut diberikan oleh ahli matematik India, Bhaskara pada tahun 1150, bersama-sama dengan sesetengah formula sinus dan kosinus. Bhaskara juga memperkembangkan trigonometri sfera. Nasir al-Din Tusi, ahli matematik Parsi, bersama-sama dengan Bhaskara, mungkin merupakan orang-orang pertama untuk mengolahkan trigonometri sebagai satu disiplin matematik yang berlainan. Dalam karyanya, Karangan mengenai sisi empat merupakan orang pertama untuk menyenaraikan enam kes yang berbeza untuk segi tiga bersudut tegak dalam trigonometri sfera.

Pada abad ke-14, al-Kashi, seorang ahli matematik Parsi, dan Ulugh Beg (cucu lelaki Timur), seorang ahli matematik Timurid, menghasilkan jadual-jadual fungsi trigonometri sebagai sebahagian kajian astronomi mereka. Bartholemaeus Pitiscus, ahli matematik Silesia menerbitkan karya trigonometri yang terpengaruh pada tahun 1595 dan memperkenalkan perkataan "trigonometri" kepada bahasa Inggeris dan bahasa Perancis.

Trigonometri pada hari ini

Terdapat amat banyak kegunaan untuk trigonometri, khususnya teknik penyegitigaan yang digunakan dalam:

• astronomi untuk mengukur jarak bintang-bintang yang dekat;
• geografi untuk mengukur jarak antara tanda tempat; dan
• sistem pandu arah satelit.

Bidang-bidang lain yang menggunakan trigonometri termasuk pandu arah (di lautan dan angkasa luar, serta untuk kapal terbang), teori muzik, analisis pasaran kewangan, elektronik, teori kebarangkalian, statistik, biologi, pengimejan perubatan (imbas tomografi berkomputer dan ultrabunyi), farmasi, kimia, teori nombor (dan oleh itu, kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, banyak jenis sains fizikal, ukur tanah dan geodesi, seni bina, fonetik, ekonomi, kejuruteraan elektrik, kejuruteraan jentera, kejuruteraan awam, grafik komputer, kartografi, kristalografi dan pembangunan permainan.

Trigonometri rasional yang merupakan pendekatan alternatif untuk trigonometri, dan yang menggantikan fungsi sinus dan jarak dengan kuasa duanya, baru-baru ini diajukan oleh Dr. Norman Wildberger dari Universiti New South Wales.

Mengenai trigonometri

Dua segitiga dikatakan serupa jika satu daripadanya boleh diperolehi dengan mengembangkan yang lagi satu secara seragam. Kes ini adalah kes jika dan hanya jika sudut sepadan adalah sama dan berlaku sebagai contoh dua segi tiga berkongsi satu sudut dan sisi yang bertentangan kepada sudut itu adalah selari. Fakta penting tentang segi tiga serupa adalah panjang sisinya adalah sama atau berkadaran. Maksudnya, katakan jika sisi terpanjang satu segi tiga adalah dua kali kepanjangan sisi terpanjang segi tiga yang serupa, maka sisi terpendek juga dua kali ganda kepanjangan sisi terpendek segi tiga yang lagi satu, dan median sisi juga dua kali ganda dengan segi tiga yang lagi satu.

Right triangle

Dengan menggunakan fakta ini, Uboleh ditakrifkan fungsi trigonometri, bermula dengan segi tiga tegak, segi tiga yang mempunyai satu sudut tegak (90 darjah atau π/2 radian). Sisi terpanjang bagi mana-mana segi tiga pula adalah yang bertentangan dengan sudut terbesar.

Sisi terpanjang bagi suatu segi tiga yang betentangan dengan sudut tegak dipanggil hipotenus. Pilihlah dua segi tiga bersudut tepat yang berkongsi sudut A. Segi tiga tersebut perlulah serupa, maka nisbah bagi sisi yang bertentangan A kepada hipotenus akan sama bagi kedua-dua segi tiga tersebut. Ia haruslah di antara nombor 0 dan 1, kerana hipotenus sentiasa lebih besar dari dua sisi yang lain yang bergantung kepada A; kita memanggilnya sin bagi A dan menulisnya sebagai sin(A), atau hanya sin A. Begitu juga untuk mentakrifkan kosin bagi A adalah nisbah bagi sisi yang bersebelahan A kepada hipotenus.

$\sin A={{\mbox{ttg}} \over {\mbox{hip}}}\qquad {\mbox{kos}}A={{\mbox{sblh}} \over {\mbox{hip}}}$

Itulah fungsi trogonometri yang paling penting; fungsi lain boleh diterbitkan dengan mengambil nisbah bahagian yang lagi satu bagi segi tiga tegak yang masih boleh dinyatakan dalam bentuk sin dan kosin. Berikut adalah tangen, sekan, kotangen, dan kosekan.

$\tan A={\sin A \over {\mbox{kos}}A}={{\mbox{ttg}} \over {\mbox{sblh}}}\qquad {\mbox{sek}}A={1 \over {\mbox{kos}}A}={{\mbox{hip}} \over {\mbox{sblh}}}$

${\mbox{kot}}A={{\mbox{kos}}A \over \sin A}={{\mbox{sblh}} \over {\mbox{ttg}}}\qquad {\mbox{kosek}}A={1 \over \sin A}={{\mbox{hip}} \over {\mbox{ttg}}}$

Buat masa ini, fungsi trigonometri hanya ditentukan bagi sudut di antara 0 dan 90 darjah (0 dan π/2 radian) sahaja. Dengan menggunakan unit bulatan, seseorang itu boleh mengembangkannya kepada pernyataan positif dan negatif (lihat fungsi trigonometri).

Apabila fungsi sin dan kosin dijadualkan (atau dikira menggunakan kalkulator), seseorang itu boleh menjawab hampir-hampir semua segi tiga dengan menggunakan hukum sin dan hukum kos. Hukum ini boleh digunakan untuk mengira sudut dan sisi yang lebihan bagi mana-mana segi tiga apabila dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi atau tiga sisi diketahui.

Sesetengah ahli matematik percaya yang trigonometri asalnya dicipta untuk mengira kedudukan matahari, latihan tradisional dalam buku tertua. Ia juga amat penting untuk ukur tanah.

Formula lazim

Rencana utama: Identiti trigonometri

Identiti Pythagoras

$\sin ^{2}A+{\mbox{kos}}^{2}A=1\,$

$1+\tan ^{2}A={\mbox{sek}}^{2}A\,$

$1+{\mbox{kot}}^{2}A={\mbox{kosek}}^{2}A\,$

Identiti jumlah dan beza

$\sin(A+B)=\sin A{\mbox{kos }}B+{\mbox{kos }}A\sin B\,$

$\sin(A-B)=\sin A{\mbox{kos }}B-{\mbox{kos }}A\sin B\,$

${\mbox{kos }}(A+B)={\mbox{kos }}A{\mbox{kos }}B-\sin A\sin B\,$

${\mbox{kos }}(A-B)={\mbox{kos }}A{\mbox{kos }}B+\sin A\sin B\,$

$\tan(A+B)={\frac {\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}}\,$

$\tan(A-B)={\frac {\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}}\,$

Identiti sudut ganda dua

$\sin 2A=2\sin A{\mbox{kos}}A\,$

${\mbox{kos}}2A={\mbox{kos}}^{2}A-\sin ^{2}A=2{\mbox{kos}}^{2}A-1=1-2\sin ^{2}A\,$

$\tan 2A={2\tan A \over 1-\tan ^{2}A}={2{\mbox{kot}}A \over {\mbox{kot}}^{2}A-1}={2 \over {\mbox{kot}}A-\tan A}\,$

Identiti sudut setengah

Perhatikan yang $\pm$ dalam formula ini tidak bermakna kedua-duanya betul, ia bermaksud salah satu, bergantung kepada nilai A.

$\sin {\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-{\mbox{kos}}A}{2}}}\,$

${\mbox{kos}}{\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+{\mbox{kos}}A}{2}}}\,$

$\tan {\frac {A}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-{\mbox{kos}}A}{1+{\mbox{kos}}A}}}={\frac {\sin A}{1+{\mbox{kos}}A}}={\frac {1-{\mbox{kos}}A}{\sin A}}\,$

Untuk lebih identiti, sila lihat identiti trigonometri.

Bukti untuk formula lazim

Bukti untuk identiti Pythagoras

Dalam Trigonometri, dua sisi yang berserenjang dalam segi tiga dirujuk sebagai sisi bertentangan atau sisi bersebelahan bagi sudut ayng diberi. Sisi tersebut boleh juga dirujuk sebagai kaki segi tiga tepat. Sisi yang terpapnjang dipanggil hipotenus.

Teorem Pythagoras menyatakan $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ iaitu sisi a dan b adalah kaki bagi segi tiga tegak dan c adalah hipotenus. Oleh kerana sisi bersebelahan dan bertentangan juga kaki bagi segi tiga, maka kedua-duanya boleh digunakan sebagai sisi a dan b. Maka, kepanjangan sisi bertentangan kuasa dua tambah kepanjangan sisi bertentangan kuasa dua adalah sama dengan kepanjangan hipotenus kuasa dua.

$\mathrm {ttg} ^{2}+\mathrm {sblh} ^{2}=\mathrm {hip} ^{2}\,$

Ini akan dibuktikan dengan tiga identiti Pythagoras.

Bukti untuk sin²A + kos²A = 1

Mengikut takrif, sin A ialah bertentangan dibahagi oleh hipotenus dan kos A adalah bersebelahan dibahagi dengan hipotenus. Sengan menggunakan penggantian, persa,aam asal

$\sin ^{2}A+\mathrm {kos} ^{2}A=1\,$

boleh ditulis menjadi:

${\frac {\mathrm {ttg} ^{2}}{\mathrm {hip} ^{2}}}+{\frac {\mathrm {sblh} ^{2}}{\mathrm {hip} ^{2}}}=1\,$

Dengan mendarabkan kedua-dua belah dengan $\mathrm {hip} ^{2}$, persamaan akan menjadi

$\mathrm {ttg} ^{2}+\mathrm {sblh} ^{2}=\mathrm {hip} ^{2}\,$

yang mengikut Teorem Pythagoras.

Bukti untuk 1 + tan²A = sec²A

Oleh kerana tan A adalah sama dengan bertentangan dibahagikan oleh bersebelahan dan sek A adalah hipotenus dibahagikan oleh bersebelahan, maka persamaan asal

$1+\tan ^{2}A=\mathrm {sek} ^{2}A\,$

boleh ditulis menjadi:

$1+{\frac {\mathrm {ttg} ^{2}}{\mathrm {sblh} ^{2}}}={\frac {\mathrm {hip} ^{2}}{\mathrm {sblh} ^{2}}}\,$

Dengan mendarabkan kedua-dua belah dengan $\mathrm {sblh} ^{2}$, persamaan akan menjadi

$\mathrm {sblh} ^{2}+\mathrm {ttg} ^{2}=\mathrm {hip} ^{2}\,$

yang mengikut Teorem Pythagoras.

Bukti untuk 1 + kot²A = kosek²A

Oleh kerana kot A sama dengan bersebelahan dibahagikan dengan bertentangan dan kosek A adalah sama dengan hipotenus dibahagikan dengan bersebelahan, persamaan asal

$1+\mathrm {kot} ^{2}A=\mathrm {kosek} ^{2}A\,$

boleh ditulis menjadi:

$1+{\frac {\mathrm {sblh} ^{2}}{\mathrm {ttg} ^{2}}}={\frac {\mathrm {hip} ^{2}}{\mathrm {ttg} ^{2}}}\,$

Dengan mendarabkan kedua-dua belah dengan $\mathrm {ttg} ^{2}$, persamaan akan menjadi

$\mathrm {ttg} ^{2}+\mathrm {sblh} ^{2}=\mathrm {hip} ^{2}\,$

yang mengikut Teorem Pythagoras.

Pautan luar

• Trigonometri — Apakah baiknya?     Bahagian pertama kursus pantas dalam siri 7 bahagian pada peringkat sekolah menengah.
• Keseronokan Trigonometri oleh Eli Maor daripada Percetakan Universiti Princeton.