Siri Taylor

Dalam matematik, siri Taylor atau pengembangan Taylor bagi suatu fungsi ialah jumlah sebutan tak terhingga yang dinyatakan dalam sebutan terbitan fungsi pada suatu titik. Untuk kebanyakan fungsi-fungsi biasa, fungsi dan jumlah siri Taylornya adalah sama berhampiran titik ini. Siri Taylor dinamakan sempena Brook Taylor, yang memperkenalkan teorem ini pada tahun 1715. Siri Taylor juga dipanggil siri Maclaurin apabila 0 ialah titik di mana terbitan dipertimbangkan, selepas Colin Maclaurin, yang menggunakan kes khas siri Taylor ini secara meluas pada abad ke-18.

Apabila darjah polinomial Taylor meningkat, ia menghampiri fungsi yang betul. Imej ini menunjukkan sin x dan penghampiran Taylornya dengan polinomial darjah 1, 3, 5, 7, 9, 11, dan 13 pada x = 0 .

Jumlah separa yang dibentuk oleh sebutan n + 1 pertama bagi siri Taylor ialah polinomial darjah n yang dipanggil polinomial Taylor n bagi fungsi tersebut. Polinomial Taylor ialah penghampiran fungsi, yang secara umumnya menjadi lebih tepat apabila nilai n bertambah. Teorem Taylor memberikan anggaran kuantitatif mengenai ralat yang diperkenalkan oleh penggunaan anggaran tersebut. Jika siri Taylor bagi suatu fungsi adalah menumpu, hasil tambahnya ialah had bagi jujukan tak terhingga bagi polinomial Taylor. Sesebuah fungsi mungkin berbeza daripada jumlah siri Taylornya, walaupun siri Taylornya adalah menumpu. Suatu fungsi adalah analitik pada titik x jika ia sama dengan jumlah siri Taylornya dalam beberapa selang terbuka (atau cakera terbuka dalam satah kompleks) yang mengandungi x. Ini menunjukkan bahawa fungsi adalah analitik pada setiap titik selang (atau cakera).

Definisi

Siri Taylor bagi fungsi sebenar atau bernilai kompleks f (x), yang boleh diterbitkan secara tak terhingga pada nombor nyata atau kompleks a, ialah siri kuasa $$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.$$Di sini, n! menandakan faktorial bagi n. Fungsi fTemplat:Isup(a) menandakan terbitan ke n bagi f yang dinilai pada titik a . Terbitan bagi tertib sifar bagi f ditakrifkan sebagai f itu sendiri dan (x − a)⁰ dan 0! kedua-duanya ditakrifkan sebagai 1. Siri ini boleh ditulis dengan menggunakan tatatanda sigma, seperti dalam formula sebelah kanan. Dengan a = 0, siri Maclaurin mengambil bentuk: $$f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.$$

Contoh

Siri Taylor bagi sebarang polinomial ialah polinomial itu sendiri.

Siri Maclaurin daripada

$$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .$$

Jadi, dengan menggantikan x untuk 1 − x, siri Taylor bagi 1/x pada a = 1 ialah:

$$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .$$

Dengan mengamirkan siri Maclaurin di atas, kita akan mendapati siri Maclaurin ln(1 − x), di mana ln menandakan logaritma asli:

$$-x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .$$

Siri Taylor yang sepadan bagi fungsi ln x pada a = 1 ialah:

$$(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,$$

dan lebih umumnya, siri Taylor yang sepadan bagi fungsi ln x pada titik bukan sifar arbitrari a ialah:

$$\ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .$$

Siri Maclaurin bagi fungsi eksponen e^x ialah

$${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}$$

Peluasan di atas berlaku kerana terbitan e^x berkenaan dengan x juga adalah e^x, dan e⁰ bersamaan dengan 1. Ini meninggalkan sebutan (x − 0)ⁿ dalam pengangka dan n! dalam penyebut setiap sebutan dalam jumlah tak terhingga.

Lihat juga

• Pengembangan asimptotik
• Polinomial Newton
• Anggaran padé – anggaran terbaik oleh fungsi rasional
• Siri Puiseux
• Teori penghampiran
• Penghampiran fungsi

 

Pautan luar

•  
• Weisstein, Eric W. "Taylor Series". MathWorld.