Punca kuasa dua untuk nombor 2

Punca kuasa dua kepada nombor 2, juga dikenali sebagai pemalar Pythagoras, sering ditulis sebagai

Punca kuasa dua adalah sama dengan hipotenus bagi segi tiga tegak yang kakinya mempunyai panjang 1.

${\sqrt {2}},$

merupakan nombor nyata yang positif, yang apabila didarabkan dengan nilai itu sendiri akan mendapatkan nombor 2. Nilai berangkanya berhampiran 65 tempat titik perpuluhan ialah:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.

Punca kuasa dua 2 merupakan nombor tak nisbah yang pertama diketahui. Secara geometri, ia merupakan kepanjangan pepenjuru merentasi segi empat sama dengan sisinya mempunyai kepanjangan 1 unit; ini mengikut teorem Pythagoras. Bagi pengiraan asas tanpa fungsi punca kuasa, penganggaran ${\tfrac {99}{70}}$ bagi punca kuasa dua lebih elok berbanding penganggaran ${\tfrac {22}{7}}$ bagi pi, yang merupakan nombor tak nisbah paling lazim digunakan.

Senarai nomobor - Nombor tak nisbah γ - ζ(3) - ${\sqrt {2}}$ - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Perduaan	1.0110101000001001111...
Perpuluhan	1.4142135623730950488...
Perenambelasan	1.6A09E667F3BCC908B2F...
Pecahan lanjar	$1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$

Nisbah peraknya ialah

$1+{\sqrt {2}}.\,$

Sejarah

Tanah liat Babylon YBC 7289 dengan catatan.
(Imej oleh Bill Casselman)

Tablet tanah liat Babylon YBC 7289 (kk. 1800–1600 SM) memberikan anggaran ${\sqrt {2}}$ dalam bentuk perenam-puluhan, iaitu lebih kurang bentuk enam perpuluhan:

$1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}.$

Anggaran awal yang hampir lain bagi nombor ini diberi dalam teks matematik India purba, Sulbasutra (kk. 800–200 SM) seperti berikut: Tambahkan panjang [sisi] dengan sepertiganya dan sepertiga ini dengan seperempatnya kurang sepertiga-puluh-empat bagi seperempat itu. Itu ialah,

$1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.$

Anggaran India purba ini merupakan jujukan ketujuh bagi anggaran tepat untuk jujukan nombor Pell, yang boleh diterbitkan dari kembangan pecahan lanjar untuk ${\sqrt {2}}.$

Penemuan bagi nombor tak nisbah sering menyumbang kepada Hippasus of Metapontum Pythagoras, yang memperkenalkan bukti ketidak nisbahan (hampir kepada geometri) untuk punca kuasa dua . Menurut lagenda, Pythagoras percaya dalam kemutlakan nombor-nombor dan tidak dapat menerima nombor tak nisbah. Dia tidak dapat memalsukannya melalui logik, tetapi kepercayaannya tidak dapat menerima kewujudan nombor tak nisbah, maka dia menghukum Hippasus untuk mati lemas. [1] Lagenda lain menyatakan yang dilemaskan Hippasus oleh pengikut Pythagoras [2], atau dihalau dari golongan itu. [3]

Algoritma berkomputer

Banyak algoritma yang membuat penganggaran punca kuasa 2, sama ada dalam pernyataan nisbah integer atau dalam bentuk perpuluhan. Algoritma paling biasa bagi kes ini, sama ada menggunakannya dalam banyak komputer atau mesin pengira, adalah kaedah Babylon bagi pengiraan punca kuasa 2 yang merupakan salah satu daripada kaedah mengira punca kuasa. Perkara itu adalah seperti berikut:

Pertama, ambil mana-mana tekaan, $F_{0}$; tekaan itu tidak penting kerana tekaan itu hanya mempengaruhi berapa banyak lelaran yang diperlukan untuk mencapai anggaran penghampiran bagi ketepatan tertentu. Kemudian, dengan menggunakan tekaan itu, lelarkannya menerusi pengiraan rekursif tersebut:

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\frac {2}{F_{n}}}}{2}}.$

Lebih banyak lelaran dalam algoritma ini (iaitu banyak pengiraan dilakukan dan "n" lebih besar), lebih elok anggaran punca kuasa dua 2 yang dapat dicapai.

Nilai √2 dikira hingga 137,438,953,444 tempat perpuluhan oleh pasukan Yasumasa Kanada pada 1997.

Pada Februari 2006, rekod pengiraan √2 telah diganti dengan penggunaan komputer rumah. Shigeru Kondo mengira hingga 200,000,000,000 tempat perpuluhan dalam lebih kurang 13 hari dan 14 jam menggunakan 3.6GHz PC yang mempunyai 16GB ingatan.

Dalam banyak-banyak pemalar dengan kembangan perpuluhan tak berulang, hanya π telah dikira dengan lebih tepat. [4]

Bukti ketidaknisbahan

Pembuktian dengan penurunan tak terhingga

Satu pembuktian nombor tak nisbah adalah pembuktian dengan penurunan tak terhingga. Ia juga pembuktian melalui percanggahan, yang membawa makna pernyataan dibuktikan dengan menganggap bahawa jika apa bertentangan dengan pernyataan itu adalah benar dan dengan menunjukkan yang anggapan ini adalah salah akan memberi makna bahawa pernyataan asal itu adalah betul.

1. Anggap yang √2 adalah nombor nisbah, bermakna wujud integer a dan integer b yang menunjukkan a / b = √2.
2. Kemudian √2 boleh ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (pecahan yang boleh dimudahkan sebanyak mungkin) a / b iaitu a dan b adalah integer gandaan dan (a / b)² = 2.
3. Kemudian a² / b² = 2 dan a² = 2 b².
4. Maka a² adalah genap kerana ia bersamaan dengan 2 b² iaitu genap juga.
5. Kemudian a mestilah genap (kerana kuasa intereger ganjil adalah ganjil).
6. Disebabkan a adalah genap, wujudnya integer k yang memenuhi: a = 2k.
7. Dengan menggantikan (6) ke dalam persamaan akhir (3): 2b² = (2k)² adalah sama dengan 2b² = 4k² yang juga sama dengan b² = 2k².
8. Disebabkan 2k² genap kerana b² juga genap yang membawa maksud b adalah genap kerana interger ganjil mempunyai kuasa yang ganjil.
9. Dengan (5) dan (8) a dan b adalah genap kedua-duanya, yang bercanggah dengan a / b yang tak terturunkan seperti dinyatakan dalam (2).

"quod erat demonstrandum"

Memandangkan terdapatnya percanggahan, anggapan (1) iaitu √2 nombor nisbah adalah salah, Maka, bertentangan dengan pernyataan itu adalah dibuktikan benar: √2 tidak nisbah.

Pembuktian ini boleh digunakan untuk sebarang punca kuasa nombor asli untuk menunjukkan sama ada nombor itu nombor asli atau nombor tidak nisbah.

Pembuktian dengan pemfaktoran unik

Pembuktian lain menggunakan pendekatan yang sama dengan teorem pemfaktoran unik:

1. Anggap yang √2 adalah nombor nisbah, yang bermakna wujudnya interger a dan integer b supaya a / b = √2.
2. Kemudian √2 boleh ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (pecahan yang boleh dimudahkan sebanyak mungkin) a / b iaitu a and b adalah integer gandaan dan (a / b)² = 2.
3. Lalu, a² / b² = 2 dan a² = 2 b².
4. Dengan teorem pemfaktoran unik, kedua-dua a dan b mempunyai pemfaktoran perdana yang unik, iaitu a = 2^xk dan b = 2^ym bagi integer tak negatif x, y, dan integer ganjil tak negatif m and k.
5. Maka, a² = 2^2xk² dan b² = 2^2ym².
6. Masukkan balik ke dalam (3) akan peroleh 2^2xk² = 2·2^2ym² = 2^2y+1m².
7. Ini menyatakan yang pemfaktoran perdana dengan kuasa genap 2 (2x) adalah sama dengan nombor berkuasa ganjil 2 (2y+1). Ini bercanggah dengan teorem pemfaktoran unik. Maka, pernyataan asal adalah salah.

Bukti geometri

Satu lagi pembuktian melalui percanggahan menunjukkan yang √2 adalah nombor tak nisbah adalah tidak berapa diketahui. Ia juga contoh pembuktian penuurunan tak terhingga. Konsep ini menggunakan pembinaan kompas dan sisi lurus klasik, membuktikan teorem ini dengan kaedah yang sama yang digunakan ahli geometri Yunani purba.

Biarkan ABC segi tiga sama kaki tegak dengan panjang hipotenus m dan kaki n. Dengan menggunakan teorem Pythagoras, m/n = √2. Katakan m dan n adalah integer. Biarkan m:n menjadi nisbah yang diberikan melalui sebutan terendah.

Lukis lengkungan BD dan CE berpusatkan A. Sambungkan DE. Kemudian AB = AD, AC = AE serta ∠BAC dan ∠DAE adalah sama. Maka segitiga ABC dan ADE adalah kongruen melalui SAS.

Memandangkan ∠EBF adalah sudut tegak dan ∠BEF separuh sudut tegak, BEF juga segitiga sama kaki tegak. Maka BE = m − n menandakan BF = m − n. Melalui simetri, DF = m − n, dan FDC juga segitiga sama kaki tegak. Juga FC = n − (m − n) = 2n − m.

Memandangkan kita mempunyai segitiga sama kaki tegak yang lebih kecil, dengan panjang hipotenus 2n − m dan kaki m − n. Nilai ini adalah integer yang lebih kecil daripada m dan n dan dalam nisbah yang sama, bertentangan dengan hipotesis yang menunjukkan bahawa m:n adalah sebutan terkecil. Maka m and n tidak mungkin integer, maka √2 adalah bukan nisbah.

Sifat-sifat punca kuasa dua

separuh √2, lebih kurang 0.70710 67811 86548, merupakan kuantiti lazim dalam geometri dan trigonometri, kerana kenyataan yang vektor unit membuat sudut 45° dengan paksi dalam satah yang mempunyai koordinat

$\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right).$

Nombor ini bertepatan dengan

${\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ }).$

Satu sifat menarik bagi punca kuasa dua ialah:

$\!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1.$

Ini merupakan hasil bagi sifat nisbah perak.

Punca kuasa dua boleh dinyatakan dalam sebutan unit khayalan i menggunakan hanya punca kuasa dan operasi aritmatik:

${\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}$ and ${\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.$

Perwakilan siri dan hasil darab

Pengenalan kos(π/4) = sin(π/4) = √2/2, bersama perwakilan hasil darab tak terhingga bagi sin dan kosin membawa kepada hasil darab seperti

${\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots$

dan

${\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots$

atau bersamaan dengan,

${\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .$

Nombor tersebut boleh dinyatakan dengan mengambil siri Taylor bagi fungsi trigonometri. Contohnya, siri bagi kos(π/4) adalah

${\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.$

Siri Taylor bagi √(1+x) dengan x = 1 memberikan

${\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots .$

Penumpuan siri ini boleh dicepatkan dengan penukaran Euler, menghasilkan

${\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{(k!)^{2}2^{3k+1}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .$

Tidak diketahui sama ada √2 boleh diwakilikan dengan rumus BBP-type. Rumus BBP-type digunakan untuk π√2 dan √2 ln(1+√2). [5]

Perwakilan pecahan lanjar

Punca kuasa dua mempunyai perwakilan pecahan lanjar seperti berikut:

$\!\ {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+\cdots }}}}}}.$

Rujukan

• Apostol, Tom M. (2000). "Irrationality of The Square Root of Two—A Geometric Proof". The American Mathematical Monthly. 107 (9): 841–842.
• Flannery, David (2005). The Square Root of Two. Springer. ISBN 0-387-20220-X.
• Fowler, David (1998). "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context" (PDF). Historia Mathematica. 25 (4): 366–378. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 2006-09-03.
• Gourdon, X. & Sebah, P. Pythagoras' Constant: √2. Includes information on how to compute digits of ${\sqrt {2}}$.
• Henderson, David W., Square Roots in the Sulbasutra

Pautan luar

• (Inggeris) The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.
• (Inggeris) Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
• (Inggeris) √2.net, enthusiast site with realtime computation