Geometri algebra

Geometri algebra ialah cabang ilmu matematik yang menggabungkan teknik-teknik algebra abstrak, terutamanya algebra kalis tukar tertib dengan bahasa dan masalah dalam geometri. Ia merupakan antara cabang utama dalam matematik moden dan mempunyai sebilangan hubungan konsep dengan banyak bidang seperti analisis kompleks, topologi dan teori nombor. Asal usul geometri algebra bermula dengan kajian tentang sistem persamaan polinomial dalam beberapa pemboleh ubah, subjeknya bermula di mana penyelesaian persamaan tidak diguna pakai, dan adalah penting untuk memahami sifat intrinsik penyelesaian keseluruhan bagi satu sistem persamaan berbanding mencari beberapa penyelesaian; ini membawa ke beberapa bahagian terdalam bagi keseluruhan matematik, secara konsep dan teknik.

Objek kajian asas dalam geometri algebra ialah aneka algebra, iaitu satu manifestasi geometri untuk penyelesaian sistem persamaan polinomial. Keluk algebra satah yang termasuk garis, bulatan, parabola, lemniskat dan bujur Cassini, membentuk antara kelas-kelas terbaik yang dikaji dalam aneka algebra. Satu titik pada satah adalah dimiliki oleh satu keluk algebra jika koordinatnya memenuhi persamaan polinomial yang diberi. Soalan-soalan asasnya adalah melibatkan kedudukan relatif keluk-keluk yang berlainan serta hubung kait antara keluk yang diberi oleh persamaan yang berbeza.

Idea Descartes tentang koordinat adalah penting bagi geometri algebra, namun ia telah mengalami siri transformasi yang mengagumkan bermula pada abad ke-19. Sebelum itu, koordinat dianggap sebagai tupel untuk nombor nyata, tetapi ini berubah apabila nombor kompleks pertama, dan kemudiannya elemen-elemen bidang arbitrari telah diterima umum. Koordinat homogen dalam geometri unjuran meluaskan lagi tanggapan tentang sistem koordinat dalam satu arah yang berbeza, dan memperkayakan skop geometri algebra. Kebanyakan perkembangan geometri algebra pada kurun ke-20 berlaku di dalam ruang lingkup rangka kerja algebra abstrak, dengan penekanan yang lebih diletakkan pada sifat 'intrinsik' aneka algebra yang tidak bergantung pada sebarang cara khusus pembenaman aneka tersebut dalam satu ruang koordinat ambien; ini menyamai perkembangan dalam topologi dan geometri kompleks.

Perbezaan utama antara geometri unjuran klasik kurun ke-19 dengan geometri algebra moden, dalam bentuk yang diberi padanya oleh Grothendieck dan Serre, ialah yang klasik lebih tertumpu pada tanggapan geometri untuk satu titik, sementara yang moden menekankan konsep yang lebih beranalisis bagi fungsi nalar dan peta sekata dan sangat hampir dengan teori gemal. Perbezaan penting yang lain terletak pada skop subjek tersebut. Idea Grothendieck tentang skema memberikan bahasa dan alatan untuk pengolahan geometri bagi gelang kalis tukar tertib arbitrari dan, khususnya, menghubungkan geometri algebra dengan teori nombor algebra. Pembuktian Andrew Wiles ke atas teorem terakhir Fermat yang sangat terkenal itu adalah contoh jelas tentang kuasa pendekatan ini. André Weil, Grothendieck, and Deligne juga mendemonstrasikan yang idea asas topologi manifold mempunyai idea yang seakan-akan sama dalam geometri algebra pada medan terhingga.

Rujukan

Buku teks klasik, diterbitkan sebelum skema:

• W. V. D. Hodge (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46900-7.
• W. V. D. Hodge (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46901-5.
• W. V. D. Hodge (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46775-6.

Buku teks moden yang tidak menggunakan bahasa dari skema:

• David A. Cox (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (ed. second). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
• Phillip Griffiths (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8.
• Joe Harris (1995). Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97716-3.
• David Mumford (1995). Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties (ed. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 3-540-58657-1.
• Miles Reid (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8.
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space (ed. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2.

Buku teks dan rujukan untuk skema:

• David Eisenbud (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5.
• Alexander Grothendieck (1960). Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS.
• Alexander Grothendieck (1971). Éléments de géométrie algébrique. 1 (ed. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 3-540-05113-9.
• Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
• David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (ed. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 3-540-63293-X.
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2.

Di Internet:

• Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System Diarkibkan 2008-02-10 di Wayback Machine. In construction; currently of very limited use for self study.
• Algebraic geometry entry on PlanetMath
• Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations