Sistem koordinat

Untuk pengenalan asas bagi topik ini, sila lihat Koordinat (matematik)

Dalam matematik dan penerapan, sistem koordinat ialah sebuah sistem untuk memberikan jujukan terhingga nombor kepada setiap titik dalam ruang n-dimensi. "Nombor" biasanya bermaksud nombor nyata tetapi, bergantung kepada konteksnya, boleh juga bermaksud nombor kompleks atau unsur untuk medan yang lain. Jika ruang atau manifold adalah melengkung, satu sistem koordinat untuk seluruh ruang mungkin tidak cukup. Dalam pada kes ini, satu set sistem-sistem koordinat yang dipanggil carta akan digunakan untuk membentuk sebuah atlas yang merangkumi seluruh ruang.

Jika ruang itu mempunyai struktur algebra tambahan, jadi koordinat-koordinatnya juga akan berubah di bawah gelanggang-gelanggang atau kumpulan-kumpulan; contoh yang paling masyhur ialah kumpulan-kumpulan Lie.

Walaupun mana-mana satu sistem koordinat adalah berguna untuk pengiraan nombor dalam sesuatu ruang, ruang itu pada dirinya dianggap sebagai wujud secara berasingan daripada mana-mana satu pilihan koordinat yang tertentu. Mengikut kelaziman, asalan sistem koordinat dalam koordinat-koordinat Cartes ialah titik (0, 0, ..., 0), yang boleh diberikan kepada mana-mana satu titik dalam ruang Euclid.

Dalam sesetengah sistem koordinat, sebilangan titik dikaitkan kepada berbilang jujukan terhingga koordinat, umpamanya asalan dalam koordinat-koordinat kutub: r = 0 tetapi θ boleh merupakan mana-mana satu sudut.

Contoh

Satu contoh sistem koordinat ialah untuk menghuraikan satu titik P dalam ruang Euclid Rⁿ dengan n-jujukan terhingga

P = (r₁, ..., r_n)

untuk nombor-nombor nyata

r₁, ..., r_n.

Nombor-nombor r₁, ..., r_n ini dipanggil koordinat-koordinat titik P.

Jika subset S untuk ruang Euclid dipetakan secara selanjar pada lagi satu ruang topologi, ini akan mentakrifkan koordinat-koordinat melalui imej S. Perbuatan ini boleh dipanggil parametrisasi imej kerana ia memberikan nombor-nombor kepada titik-titik. Persamaan ini adalah unik hanya jika pemetaan adalah bijektif.

Sistem yang memberikan garisan bujur dan garisan lintang kepada lokasi-lokasi geografi merupakan sebuah sistem koordinat. Dalam kes ini, parametrisasi gagal menjadi unik di kutub utara dan selatan.

Transformasi

Transformasi koordinat ialah penukaran daripada sebuah sistem kepada sebuah sistem yang lain untuk menghuraikan ruang yang sama.

Dengan setiap bijeksi dari sesuatu ruang kepada diri sendiri, dua transformasi koordinat dapat dikaitkan:

koordinat-koordinat baru bagi imej untuk setiap titik adalah sama dengan koordinat-koordinat lama bagi titik asalnya (formula-formula untuk pemetaan merupakan songsangan formula bagi transformasi koordinat)
koordinat-koordinat lama bagi imej untuk setiap titik adlaah sama dengan koordinat-koordinat baru bagi titik asalanya (formula-formula untuk pemetaan merupakan songsangan formula bagi transformasi koordinat).

Umpamanya dalam 1D, jika pemetaan adalah translasi sebanyak 3 ke kanan, yang pertama menggerakkan asalan dari 0 ke 3 dan oleh itu, koordinat untuk setiap titik akan dikurangkan sebanyak 3, manakala yang kedua menggerakkan asalan dari 0 ke -3 supaya koordinat setiap titik menambah sebanyak 3.

Sistem-sistem koordinat yang biasa digunakan

Sesetengah sistem koordinat yang biasa digunakan adalah seperti yang berikut:

Sistem koordinat Cartes (juga dipanggil "sistem koordinat segi empat tepat") menggunakan tiga nombor untuk mewakili jarak-jarak bagi ruang rata tiga dimensi.
Koordinat garis melengkung ialah penyeluruhan untuk sistem-sistem koordinat; sistem ini berdasarkan persilangan lengkung-lengkung.
Sistem koordinat kutub:
- Sistem koordinat bulatan (biasanya dirujuk sebagai sistem koordinat kutub) mewakili satu titik dalam sesuatu satah melalui satu sudut dan satu jarak dari asalan.
- Sistem koordinat silinder mewakili satu titik dalam sesuatu ruang dengan satu sudut, satu jarak dari asalan, serta satu ketinggian.
- Sistem koordinat sfera mewakili satu titik dalam sesuatu ruang dengan dua sudut dan satu jarak dari asalan.
  - Sistem koordinat geografi
Koordinat Plucker merupakan satu cara untuk mewakili garis-garis dalam ruang Euclid tiga dimensi dengan menggunakan enam jujukan terhingga bagi nombor-nombor sebagai koordinat homogen.
Koordinat Generalized digunakan untuk pengolahan mekanik Lagrange.
Koordinat Canonical digunakan untuk pengolahan Hamilton.
Koordinat intrinsik menghuraikan satu titik pada sesuatu lengkung melalui panjangnya lengkung ini dari titik itu dan sudut yang dibuat oleh tangen dari titik itu dengan paksi x.
Koordinat selari menggambarkan satu titik dalam sesuatu ruang n-dimensi sebagai satu polyline yang mengaitkan titik-titik pada n garis tegak.

Sistem-sistem astronomi

Sistem koordinat cakerawala
- Sistem koordinat galaksi - berdasarkan putaran Bima Sakti
- Sistem koordinat gerhana - berdasarkan putaran Sistem suria
- Sistem koordinat khatulistiwa - berdasarkan putaran Bumi
- Sistem koordinat mengufuk
Sistem koordinat ekstragalaksi
- Sistem koordinat supergalaksi - berdasarkan satah supergugusan setempat untuk galaksi-galaksi
- Koordinat segerak - sah sehingga ufuk zarah.

Sistem-sistem koordinat yang kurang biasa

Sistem-sistem koordinat yang berikut mempunyai kegunaan khas. Kesemua sistem ini mempunyai sifat sistem koordinat ortogon, iaitu permukaan-permukaan koordinat bertemu pada sudut-sudut tegak.