Tangen

Untuk fungsi tangen lihat fungsi trigonometri. Untuk kegunaan lain, lihat tangen (nyahkekaburan).

Dalam geometri, garisan tangen (atau hanya tangen) suatu lengkung pada suatu titik ialah garis lurus yang "cuma menyentuh" lengkung pada titik itu (dari segi dijelaskan lebih tepatnya di bawah). Apabila ia melintas melalui titik bertangen, garisan tangen "pergi di sepanjang arah yang sama" dengan lengkung, dan dari segi ini ia adalah anggaran garisan lurus yang terbaik lengkung pada titik itu. Takrifan yang sama digunakan pada lengkung ruang dan dimensi-n ruang Euclidean.

Tangen pada suatu lengkung

Miripnya, satah tangen pada suatu permukaan adalah pada titik yang diberikan adalah satah yang "cuma menyentuh" pada permukaan di titik itu. Konsep tangen adalah salah satu nosi paling asas pada geometri berbeza dan telah secara lebar diumumkan; lihat kawasan tangen.

Dalam trigonometri, tangen adalah rumusan cerun yang menggabungkan kenaikan dan larian. Fungsi tangen mengambil suatu penjuru dan memberitahu cerun apabila panjang garisan adalah 1. Untuk maklumat selanjutnya pada fungsi tangent, lihat fungsi trigonometri.

Perkataan "tangen" berasal dari bahasa Latin tangere, bermakna "menyentuh".

Garisan tengen pada suatu lengkung

Pada setiap titik, garisan sentiasa tangen pada lengkung. Cerunnya adalah derivatif; positifiti, negatifiti dan kekoseongan derivatif ditanda dengan hijau, merah dan hijau dengan secara tertentunya.

Sebuah tangent, sebuah chord, dan sebuah secant pada suatu bulatan

Notion intuitif adalah bahawa garisan tangen "cuma menyentuh" sebuah lengkung dapat diperbuat lebih eksplisit dengan menganggapkan langkah garisan lurus (garisan secant) lintas melalui dua titik, A dan B, yang terbaring pada lengkung fungsi. Tangen di A adalah had apabila titik B dianggarkan atau tend ke A. Kemunculan dan keunikan garisan tangen tergantung pada sesetengah jenis kelicinan matematik, dikenali sebagai "differentiability". Contohnya, jika dua arc bulat bertemu di suatu titik tajam (sebuah verteks) kemudian tiada tangen yang unik di verteks kerana had progression garisan secant tergantung pada mana "titik B" mencapai verteks.

Dalam sesetengah kes umumnya dijumpai, tangen pada sebuah lengkung tidak melintasi lengkung dari titik tengen (walaupun ia mungkin, apabila berlanjut, melintasi lengkung di tempat-tempat lain jauh dari titik tangen) Ini benar, contohnya, pada kesemua tangen pada sebuah bulat atau sebuah parabola. Meskipun, di titik-titik yang terkecuali digelar titik infleksi, garisan tangen memang melintasi dio titik tangen. Suatu contoh adalah titik (0,0) di graf parabola berkiub y = x³.

Secara tutur, ia dapatnya berlaku bahawa lengkung terbaring keseluruhannya di satu bahagian suatu garisan lurus melalui suatu titik padanya, dan meskipun garis lurus ini bukanlah suatu garis tangen. Inia dalah kesnya, contohnya, untuk suatu garis melintas lalu verteks sebuah segi tiga dan tidak intersecting segi tiga—di mana garis tangen tidak wujud untuk alasan-alasan dijelaskan di atas. Pada geometri konveks, garis-garis seperti itu digelar supporting lines.

Pendekatan analisis

Gagasan geometri pada garis tengen sebagai had garis secant berkhidmat sebagai dorongan untuk kaedah--kaedah analitikal yang digunakan untuk mencari garis tangen secara eksplisit. Soalan pencarian garis tangen pada suatu graf, atau masalah garis tangen, adalah salah suatu soalan memusat yang membawa ke perkembangan kalculus pada abad ke-17. Dalam buku keduanya Geometry, René Descartes dikatakan pada masalah membina tangen pada suatu lengkung, "Dan saya berani berkata bahawa ini bukanlah satu-satunya masalah yang terguna dan terumum dalam geometri yang saya ketahui, tetapi yang saya pernah ingin mengetahui"

Penjelasan intuitif

Anggapkan bahawa suatu lengkung diberikan seperti di graf suatu fungsi, y = f(x). To find the tangent line at the point p = (a, f(a)), anggapkan suatu lagi titik berhampiran q = (a + h, f(a + h)) pada lengkung. Cerun garis secant melintas lalu p dan q adalah sama dengan darjah perbezaan

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Apabila titik q mendekati p, yang secocok dengan membuat h lebih kecil dan kecil, darjah perbezaan seharusnya mendekati sesetengah nilai yang berhad k, yang adalah cerun garis tangen di titik p. Jika k diketahui, persamaan garis tangen dapat ditemukan dalam bentuk titik-cerun:

$y-f(a)=k(x-a).\,$

Penjelasan lebih teliti

Untuk membuatkan preceding reasoning lebih teliti, seorang haris menjelaskan apa yang dimaksudkan oleh darjah perbezaan mendekati sesetengah nilai berhad k. Rumusan matematik lebih tepat diberikan oleh Cauchy pada abad ke-19 dan berasaskan pada tanggapan had. Anggapkan bahawa graf tidak mempunyai suatu pecahan atau suatu tepi di p dan ia bukannya plumb atau terlalu wiggly berhampiran p. Kemudian adanya suatu nilai unik k yang mana h mendekati 0, darjah perbezaan menjadi semakin hampir dan hampir dengan k, dan jarak di antara mereka menjadi terabai dibandingkan dengan saiz h, jika h cukup kecil. INi membawakan ke definisi cerun pada garis tangen pada graf sebagai had darjah perbezaan untuk fungsi f. Had ini adalah derivatif pada fungsi f di x = a, menandakan f ′(a). Menggunakan derivatif, persamaan garis tangen dapat dikatakan seperti yang berikut:

$y=f(a)+f'(a)(x-a).\,$

Kalkulus memberikan peraturan untuk mengira derivatif fungsi-fungsi yang diberikan oleh rumusan, seperti fungsi kuasa, fungsi trigonometri, fungsi eksponen, logaritma, dan perlabagai gabungan mereka. Oleh itu, persamaan tangen pada graf pada kesemua fungsi ini, dan juga yang lain, dapat ditemukan oleh kaedah-kaedah kalkulus.

Apabila kaedahnya gagal

Kalkulus juga menunjukkan bahawa adanya fungsi-fungsi dan titik-titik di graf mereka di mana had mendapati cerun garis tangen tidak wujud. Untuk titik-titik ini fungsi f adalah non-differentiable. Ada dua alasan kemungkinan menyebabkan kaedah mencari tangen-tangen berasaskan had dan derivatif gagal: sama ada tangen goemetri wujud, tetapi ia adalah suatu garis tegak, yang tidak dapat diberikan dalam bentuk titik-cerun sejak ia tidak mempunyai suatu cerun, atau graf yang sangat teruk diakui suatu tangen geometri.

Graf y = x^1/3 menggambarkan kemungkinan pertama: di sini darjah perbezaan di a = 0 adalah sama dengan h^1/3/h = h^−2/3, yang menjadi sangat besar apabila h mendekati 0. Garis tangen pada lengkung ini di asalnya adalah tegak.

Graf y = |x| pada fungsi nilai mutlak terdiri dari dua garisan lurus dengan berlainan cerun bercantum di asalnya. Apabila suatu titik q mendekati asalnya dari kanan, garis secant mempunyai cerun 1. Apabila titik q mendekati asalnya dari kiri, garis secant mempunyai cerun &tolak;1. Oleh itu, tiada tangen unik pada graf di asalnya (walaupun pada sesetengah segi, adanya dua setengah tangen, berkorespon dengan dua arahan kemungkinan pada mendekati asalnya).

Bulatan tangen

Empat bulatan berlainan, setiap pasangan tengen pada satu sama lain

Dua jejari bulatan, kedua-duanya dalam satah yang sama, dikatakan tangen pada yang lain jika mereka bertemu hanya pada satu titik. Secara persamaan, dua bulatan, dengan jejari r_i dan pusat di (x_i , y_i), untuk i = 1, 2 dikatakan tangen kepada satu sama lain jika

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.\,$

Permukaan dan manifold dimensi lebih tinggi

Satah tangen pada suatu permukaan pada suatu titik diberikan p didefinisikan sebagai suatu cara analog pada garisan kes lengkung. Ia adalah anggaran terbaik pada permukaan dengan suatu plane di p, dan dalah diperolehi sebagai kedudukan terhad pada plan melintasi 3 titik berlainan pada permukaan berhampiran dengan p oleh kerana titik-titik ini menumpu dengan p. Lebih umumnya, adanya ruang tangent dimensi-k di setiap titik suatu manifold dimensi-k pada dimensi-n ruang Euclidean.

Lihat juga

• Kaedah Newton
• Vektor normal
• Bulatan oskulasi
• Subtangen
• Tangen kon
• Komponen bertangen
• Garisan tangen dengan bulatan

Pautan luar

• MathWorld: Tangent Line
• Tangent to a circle With interactive animation
• Tangent and first derivative - An interactive simulation
• The Tangent Parabola by John H. Mathews