Persamaan pembezaan tepat

Persamaan pembezaan tepat ialah sejenis persamaan pembezaan biasa yang digunakan secara meluas dalam bidang fizik dan kimia.

Definisi

Diberi suatu fungsi $\Psi$ yang terdiri dari pembolehubah $x$ dan $y$, yang memegang nilai suatu pemalar $k$.

$\Psi (x,y)=k$

Apabila persamaan itu dibezakan kedua belah kiri dan kanan, akan memperoleh

$d\Psi =0$

Memandangkan fungsi $\Psi$ mengandungi kedua-dua $x$ dan $y$, maka pembezaan separa boleh dilakukan terhadap pembolehubah masing-masing.

${\partial \Psi \over \partial x}dx\,+{\partial \Psi \over \partial y}dy=0$

Oleh itu, persamaan pembezaan tepat dapat ditulis semula secara am

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

iaitu

$M(x,y)={\partial \Psi \over \partial x}$

dan

$N(x,y)={\partial \Psi \over \partial y}$

Sekiranya fungsi-fungsi $M(x,y)$ dan $N(x,y)$ dibezakan separa terhadap pemboleh ubah yang berlainan, maka secara prinsip, ia akan memperoleh nilai yang sama. Nilai ini yang menjadi satu-satunya sifat untuk menentukan kewujudan persamaan pembezaan tepat.

${\partial ^{2}\Psi \over \partial xy}={\partial ^{2}\Psi \over \partial xy}$

${\partial \over \partial y}\left({\partial \Psi \over \partial x}\right)={\partial \over \partial x}\left({\partial \Psi \over \partial y}\right)$

${\partial \over \partial y}\left(M(x,y)\right)={\partial \over \partial y}\left(N(x,y)\right)$